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目录 前言假如你是大学生(一)符号表达式函数求极限泰勒展开函数求导求不定积分求定积分前言上一篇实际上是一个小插曲，向大家介绍并展示了一段简短的python小程序在实现 文件批量处理 方面的强大功用！ 接着上上一篇，今天我们继续来看Matlab常用指令之假如你是大学生系列一(高等数学上册)。
前面两篇我们介绍的小学生和中学生系列的Matlab指令其实是非常初级的，甚至可以说，Matlab对于小学生和中学生来说只能算是一个高级的计算器。而其真正功能之强大，指令之丰富，体现在大学生系列。(Matlab在大学各种数学类课程、物理化学类课程、工程类课程、经济金融类等课程中都具有重要作用！)下面我们介绍一些及其常用的指令和用法。 符号表达式之前已经介绍过，利用符号表达式可以定义一个函数表达式，所有的符号表达式定义都从syms指令开始，比如你的表达式包含x,y两个变量，那么你要首先定义两个符号变量: syms x y紧接着就可以写出你的符号表达式，例如想画一个双曲面的三维图， f=x^2-y^2; fsurf(f)立刻得到
其中fsurf指令可以快速绘制符号表达式的三维曲面图，你只要指定函数表达式，调用该函数就可以很快绘制曲面图，不需要指定任何数据信息。这和之前介绍过的快速绘制符号表达式的二维曲线图的指令fplot用法类似。(以后我们专门讲绘图指令时会再提。) 我们可以利用符号表达式来进行简单的公式推演，例如 syms x y f1=x-y; f2=x+y; f1^3*f2^3 expand(ans)得到
其中expand指令是把乘积结果展开。 我们也可以对符号表达式进行化简，例如 syms x y f=(x^3+y^3)/(x+y) simplify(f)得到
image-20201219185613535 其中simplify指令是对结果进行化简。 函数求极限微积分中求极限是最基本的操作。在matlab中求极限的指令为limit(f,var,a)，即求 的值。例如，我们求下面这个常见的极限 syms x f=sin(x)/x; limit(f,x,0)得到结果
完全正确！对于高等数学中所有的求极限题目都可以一网打尽！ 泰勒展开Matlab中求一个函数f的某个自变量x某点x0处截断的泰勒展开利用指令taylor(f,x,x0),其中x0若是缺失则默认在0处展开，例如求函数在0处的前几阶泰勒展开： syms x f=tan(x); taylor(f,x)
(若没有指定展开到多少阶，默认最高只展开到6阶)我们可以指定展开到n阶，利用taylor(f,x,x0,'order',n).例如展开到13阶 taylor(f,x,'order',13)得到
我们也可以对二元函数进行泰勒展开(这是高等数学下册所学，不要求掌握的内容)，例如求函数的前13阶展开： syms x y f=tan(x*y); taylor(f,[x,y],'order',13)得到
有了这个工具，你还说不会泰勒展开吗？复杂函数的泰勒展开你还需要手算吗？
微积分中求导是第二基本操作。在matlab中求导的指令为diff(f,var,n)，即对函数f的某个变量var求n阶导数。例如，我们求函数 的一阶导数，有 syms x f=sin(x)/x; df1=diff(f,x)得到
对其求2阶导，只要指定一个阶数2 df2=diff(f,x,2) simplify(df2)立刻得到
其中我再次利用了simplify函数进行化简！ 我们也可以求偏导数，例如对如下函数求x偏导 syms x y z F=x^2+y^2+z*sin(x*y); dFx=diff(F,x)即指定求导变量为x即可，得到
微积分中求积分是第三基本操作。在matlab中求不定积分的指令为int(f,var)，即对函数f的某个变量var求积分。例如，我们求积分 有： syms x f=x*exp(x) J=int(f)得到
我们可以求多元函数关于某一变量的积分(其他的变量当成常数对待)，例如求 有： syms x y f=x*exp(x*y) J=int(f,y)得到
定积分就是在不定积分基础上加上积分上下限，有多种方法。 方法一，符号表达式利用int(f,x0,x1)求函数f在x0到x1区间的积分。例如，求积分(还记得高等数学教材中是如何求此积分的吗？上册教材利用“夹逼定理”，即先求圆域积分再求正方形域积分，最后取极限；下册是利用二元函数极坐标系求积分，最后取极限)在matlab中只需要两三行程序：syms x f=exp(-x^2); int(f,0,inf)得到 方法二，匿名函数(前面说过匿名函数怎么定义)情况下利用integral(f,x0,x1)求函数f在x0到x1区间的积分。例如，依然求上面的积分，则有f=@(x)exp(-x.^2); integral(f,0,inf)得到 注意这里面得到的是数值结果(除了符号表达式下得到的是精确的解析解外，其他情况下都是数值解！) integral指令求一元函数的定积分可以说是非常强大！任何复杂的一元函数都可以利用该指令求出数值积分！后面我们将会讲到对应的二重积分和三重积分求积指令分别为integral2和integral3. 方法三，各种数值积分。例如quad(f,a,b)利用复化辛普森求积算法计算积分(精度比较高)，trapz(x,y)利用梯形公式计算积分(精度最低)。例如，依然计算上面的积分，利用quad函数有f=@(x)exp(-x.^2); quad(f,0,1000)(注意quad中的上下限不能出现无穷符号inf，所以如果你的求积区间存在无穷大，要使用quad指令，可以把无穷大用一个相对较大的数值取代，例如这里我把无穷大取代为1000)得到 和integral的结果一致。(有人可能会问把无穷替换为一个相对较大的数，积分出来结果能不能反映真实值？很显然，如果一个函数在0到无穷大的区间内积分收敛，即积分结果是一个定值，那么你取0到1000和0到10000积分得到的结果应该很接近，如果说你取了两种相对较大的区间，发现积分结果差别比较大，可能存在两种原因，第一，被积函数在无穷范围内积分不收敛！第二，你取的“相对较大”的数还不够大！) 我们再利用trapz函数来求此积分，有 x=0:1000; f=exp(-x.^2); trapz(x,f)(先把0到1000离散成很多个点x，显然我也不可能取0到无穷大的离散点，所以就取一个相对较大的数1000。再计算每个离散点处被积函数的值f.然后调用trapz函数计算积分)得到 和上面的结果有些许差别。(因为精度较低)
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